Maxima Function
direct ([p_1, ..., p_n], y, f, [lvar_1, ..., lvar_n])
calculates the direct image (see M. Giusti, D. Lazard et A. Valibouze, ISSAC 1988, Rome) associated to the function f, in the lists of variables lvar_1, ..., lvar_n, and in the polynomials p_1, ..., p_n in a variable y. The arity of the function f is important for the calulation. Thus, if the expression for f does not depend on some variable, it is useless to include this variable, and not including it will also considerably reduce the amount of computation.
(%i1) direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2], z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]); 2 (%o1) y - e1 f1 y 2 2 2 2 - 4 e2 f2 - (e1 - 2 e2) (f1 - 2 f2) + e1 f1 + ----------------------------------------------- 2 (%i2) ratsimp (%); 2 2 2 (%o2) y - e1 f1 y + (e1 - 4 e2) f2 + e2 f1 (%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2 - f1* z + f2], z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]])); 6 5 2 2 2 4 (%o3) y - 2 e1 f1 y + ((2 e1 - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y 3 3 3 + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y 2 2 4 2 + ((9 e2 - 6 e1 e2 + e1 ) f2 2 2 2 2 4 + (- 9 e1 e3 - 6 e2 + 3 e1 e2) f1 f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 ) 2 2 2 3 2 y + (((9 e1 - 27 e2) e3 + 3 e1 e2 - e1 e2) f1 f2 2 2 3 5 + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1 f2 - 2 e2 e3 f1 ) y 2 3 3 2 2 3 + (- 27 e3 + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2 + e1 e2 ) f2 2 3 3 2 2 + (27 e3 + (e1 - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1 f2 2 4 2 6 + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1 f2 + e3 f1
Finding the polynomial whose roots are the sums a+u where a is a root of z^2 - e_1 z + e_2 and u is a root of z^2 -f_1 z + f_2.
(%i1) ratsimp (direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2], z, a + u, [[u], [a]])); 4 3 2 (%o1) y + (- 2 f1 - 2 e1) y + (2 f2 + f1 + 3 e1 f1 + 2 e2 2 2 2 2 + e1 ) y + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1 + (- 2 e2 - e1 ) f1 2 2 2 - 2 e1 e2) y + f2 + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1 + e1 e2 f1 2 + e2
direct
accepts two flags: elementaires
and
puissances
(default) which allow decomposing the symmetric
polynomials appearing in the calculation into elementary symmetric
functions, or power functions, respectively.
Functions of sym
used in this function:
multi_orbit
(so orbit
), pui_direct
, multi_elem
(so elem
), multi_pui
(so pui
), pui2ele
, ele2pui
(if the flag direct
is in puissances
).